MRU – Mouvement Rectiligne Uniforme

Qu’est-ce qu’un mouvement rectiligne uniforme?

Un mouvement rectiligne, c’est un mouvement pour lequel on interdit le changement de direction. Bref, on ne peut qu’aller tout droit et du coup, un référentiel à une seule dimension suffit à étudier ce mouvement. Posons donc un référentiel X gradué en mètres et orienté vers la droite (Fig.1). Nous devrons donc observer tous les mouvements à partir de l’origine de ce référentiel. Si, en plus d’être rectiligne, le mouvement est uniforme, cela signifie qu’on ne peut pas changer la valeur de la vitesse. Le mouvement se fait donc avec un vecteur vitesse parfaitement constant puisqu’il ne peut changer ni de direction, ni de valeur.


referentiel X à 1Dim
Fig.1: Référentiel x à 1 dimension.

Mouvement dans le sens du référentiel

Considérons une voiture qui à l’instant t=0 (défini comme instant initial), passe devant la coordonnée X=5m (Fig.2). On prendra dans tout l’article, l’avant de la voiture comme point de repère.


Vecteur position initiale
Fig.2: Vecteur position initiale \(\overrightarrow{x_{0}}\).

L’instant initial est le moment auquel on enclenche le chronomètre, càd le moment à partir duquel on décide d’étudier le mouvement. On peut repérer la position initiale de la voiture par un vecteur position noté \(\overrightarrow{x_{0}}\) qui est l’équivalent du vecteur position \(\overrightarrow{r_{0}}\) rencontré précédemment (Référentiel et vecteur déplacement). Ce vecteur possède donc comme composante scalaire la valeur \(x_{0} = 5m\). Remarquez que la petite flèche a été retirée du vecteur \(\overrightarrow{x_{0}}\) puisque dans ce cas, on désigne seulement la composante du vecteur dans le référentiel X.
On continuera à étudier le mouvement en relevant la position de la voiture à différents instants \(t_{1}\) et \(t_{2}\) au moyen des vecteurs position \(\overrightarrow{x_{1}}\) et \(\overrightarrow{x_{2}}\) respectivement (Fig.3). (Par définition, ces vecteurs partent de l’origine du référentiel).


Deplacement dans le sens du referentiel
Fig.3: Evolution du vecteur position au cours du temps.

Nous savons que le vecteur déplacement \(\Delta \overrightarrow{x_{1}}\) est défini comme étant le déplacement de part et d’autre du point 1. On a donc la relation suivante: \[\Delta \overrightarrow{x_{1}}=\overrightarrow{x_{2}}-\overrightarrow{x_{0}}\]

Le vecteur \(\Delta \overrightarrow{x_{1}}\) possède donc l’extrémité de \(\overrightarrow{x_{0}}\) comme origine et l’extrémité de \(\overrightarrow{x_{2}}\) comme extrémité (Fig. 4).


vecteur déplacement dans le sens du référentiel
Fig.4: Vecteur déplacement.

En observant la Fig.4, on peut dire que:
– la composante scalaire de \(\overrightarrow{x_{0}}\) vaut \(x_{0}\)=5m
– la composante scalaire de \(\overrightarrow{x_{2}}\) vaut \(x_{2}\)=25m

Par ailleurs, étant donné que les vecteurs \(\Delta \overrightarrow{x_{1}}\), \(\overrightarrow{x_{0}}\) et \(\overrightarrow{x_{2}}\) ont tous la même direction (ils sont tous trois horizontaux), on voit que la relation vectorielle \(\Delta \overrightarrow{x_{1}}=\overrightarrow{x_{2}}-\overrightarrow{x_{0}}\) peut s’écrire de façon scalaire: \(\Delta x_{1}=x_{2}-x_{0}\). En effet, la grandeur du vecteur \(\overrightarrow{\Delta x_{1}}\) correspond bien à la grandeur du vecteur \(\overrightarrow{x_{2}}\) moins la grandeur du vecteur \(\overrightarrow{x_{0}}\).
On a donc: \(\Delta x_{1}=25-5=20m\)

Intéressons-nous maintenant à la définition du vecteur vitesse:
\[\overrightarrow{v_{1}}=\frac{\Delta \overrightarrow{x_{1}}}{ \Delta t} \tag 1\\\]
Il s’agit, dans notre cas, de la vitesse moyenne entre les instants 0 et 2 puisque l’intervalle de temps considéré ne tend pas vers 0.

Dans la relation (1), \(\Delta t\) est un scalaire positif puisqu’il est défini par \(\Delta t=t_{2}-t_{0}\) et que \(t_{2}>t_{0}\) puisque le temps s’écoule inlassablement…
Dès lors, les vecteurs \(\overrightarrow{v_{1}}\) et \(\Delta \overrightarrow{x_{1}}\) possèdent même direction et même sens. On peut donc réécrire la relation vectorielle sous sa forme scalaire:
\[v_{1}=\frac{\Delta {x_{1}}}{ \Delta t} \tag 2\\\]

Dans l’exemple choisi, nous obtenons: \(v_{1}=\frac{20m}{2s}=10m/s\)

Mouvement dans le sens opposé au référentiel

Que deviennent toutes ces définitions quand le mouvement se fait dans le sens opposé au référentiel alors?
Gardons le même référentiel X, mais considérons une voiture qui vient de la droite et se déplace vers la gauche. A l’instant initial, elle se trouve en x=25m et se déplace à la vitesse de 10m/s vers la gauche. Nous obtenons alors la Fig.5.


Deplacement dans le sens oppose au referentiel
Fig.5: Déplacement dans le sens opposé au référentiel.

Remarquons que, bien que le déplacement se fasse vers la gauche, le référentiel nous impose de tracer des vecteurs position qui partent de l’origine x=0 pour rejoindre l’endroit atteint par la voiture.
En gardant les mêmes définitions, on trouve le vecteur déplacement de la Fig.6.


vecteur deplacement dans le sens oppose au referentiel
Fig.6: Vecteur déplacement de sens opposé au référentiel.

On observe par ailleurs que:
– la composante scalaire de \(\overrightarrow{x_{0}}\) vaut \(x_{0}\)=25m
– la composante scalaire de \(\overrightarrow{x_{2}}\) vaut \(x_{2}\)=5m
\( \\ \)
Les vecteurs en jeu étant tous horizontaux, on peut utiliser la relation scalaire \(\Delta x_{1}=x_{2}-x_{0}\). On a \(\Delta x_{1}=5-25=-20 m\). Oh surprise! On trouve un vecteur déplacement dont la composante scalaire est négative. Cela n’a rien de sorcier, cela vient simplement, comme vous venez de vous en rendre compte, du sens du vecteur déplacement (vers la gauche) qui est opposé au sens du référentiel (vers la droite).

Dès lors, puisque les vecteurs \(\overrightarrow{v_{1}}\) et \(\Delta \overrightarrow{x_{1}}\) possèdent même direction et même sens, le vecteur \(\overrightarrow{v_{1}}\) est aussi orienté vers la gauche et sa composante scalaire est aussi négative. En effet, on a, d’après la relation (2):
\[v_{1}=\frac{\Delta {x_{1}}}{ \Delta t}=\frac{-20m}{ 2s}=-10m/s!\]

Les graphiques horaire de la position

C’est bien beau de dessiner des diagrammes du mouvement, mais c’est quand même fastidieux! Dès lors, on préfère généralement tracer des graphiques x(t) qui montrent l’évolution de la position au cours du temps. Regardez plutôt la Fig.7.


graphe horaire x dans le sens du referentiel
Fig.7: Graphique horaire de la position de la 1ère voiture.

Ce graphe, vous le maîtrisez parfaitement dans votre cours de mathématiques. Alors, comparons les deux mondes un instant.


math vs physique
Fig.8: Comparaison des graphiques dans le monde mathématique et physique.

En mathématique, vous savez que l’équation de cette droite est donnée par \[y=m.x+p \tag 3\\\] où y est la variable portée en ordonnées et x en abscisses.

Transposons au monde de la physique: sur les ordonnées, nous avons placé la composante scalaire de la position x[m], tandis que sur les abscisses nous avons le temps t[s]. Nous écrirons donc: \[x=m.t+p \tag 4\\\].
Okay, encore un petit effort!

En mathématique, vous savez que dans cette équation, le facteur \(m\) est la pente, encore appelé coefficient angulaire et qu’il se définit comme suit:
\[m=\frac{\Delta ordonnées}{\Delta abscisses}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Et donc, en physique?
\[m=\frac{\Delta ordonnées}{\Delta abscisses}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]
Il s’agit donc de la variation de la position au cours du temps, c’est la définition de la vitesse! La pente du graphique x(t) nous donne donc la composante scalaire de la vitesse!

Nous pouvons donc réécrire la relation (4) de la façon suivante:
\[x=v.t+p \]
Quelle est la signification du fameux coefficient de position p de la relation mathématique (3)? En observant la relation, vous comprenez que c’est la valeur que prend l’ordonnée (variable y) lorsque l’abscisse (variable x) est nulle. Transposons une fois de plus vers la physique, nous dirons:

ce coefficient de position, c’est la valeur que prend l’ordonnée (position x) lorsque l’abscisse (temps t) est nulle. Il s’agit donc de la composante scalaire du vecteur \(\overrightarrow{x_{0}}\), càd \(x_{0}\).
On obtient donc:
\[x_{t} = v.t + x_{0} \]
Dans cette relation:
– \(x_{0}\) représente la position à l’instant initial (t=0), càd quand on enclenche le chrono pour étudier le mouvement,
– \(x_{t}\) représente la position à un instant quelconque (t) pendant le mouvement,
– \(v\) est bien entendu la valeur de la vitesse qui est constante
– t est la variable temps qui s’écoule…

Et donc, reprenons la Fig.7, nous pourrons déduire que l’équation du mouvement de la première voiture est donnée par:
\[x_{t} = 10.t + 5 \]
Comme nous le montre la Fig.9.


pente_1er mouvement
Fig.9: Calcul de la pente

A vous de jouer avec le deuxième type de mouvement dont voici le graphique horaire de la position x(t):


graphe horaire x dans le sens oppose au referentiel
Fig.9: Graphique horaire de la position dans le cas du second mouvement

Alors???

C’est OK???


pente_2nd mouvement
Fig.10: Calcul de la pente

On obtient donc, comme équation du mouvement:

\[x_{t} = -10.t + 25 \]

Et le plus extraordinaire; c’est que ça fonctionne! A votre avis, quelle position occupe la seconde voiture après 3 secondes?

\[x_{3} = -10.3 + 25 = -5 \]

La voiture a donc dépassé (en se déplaçant vers la gauche) l’origine du référentiel comme le montre la Fig.11!


valeur equation du mouvement
Fig.11: Situation après 3 secondes

Bien joué! Si tu as un stress par rapport à une partie de la matière, n’hésite pas à me laisser un commentaire, j’y répondrai dès que possible!
A la prochaine!

Tu peux retrouver cette matière sous forme de vidéo via le lien suivant: MRU

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