Les vecteurs du monde mathématique au monde physique: définition du vecteur vitesse

En physique, la notion vectorielle est à la base de bien des déboires, et ce, jusqu’en première bac! Pourquoi?

Probablement parce que les élèves ne font pas la transposition entre la notion mathématique bien acquise et la notion physique, qui peut, à première vue paraitre plus abstraite alors qu’il s’agit du contraire bien sûr!

Les vecteurs en mathématique

Dans un premier temps, il y a juste deux notions à comprendre: la soustraction de vecteurs et la division d’un vecteur par un scalaire.

La soustraction des vecteurs

En mathématique, tout le monde sait que le vecteur \(-\overrightarrow{A}\) est un vecteur ayant la même direction mais dont le sens est opposé à celui du vecteur \(\overrightarrow{A}\). C’est trivial!

Du coup, si on souhaite effectuer la soustraction vectorielle suivante: \(\overrightarrow{C} \ = \ \overrightarrow{B} \ – \ \overrightarrow{A} \), il suffit d’ajouter l’opposé du vecteur \(\overrightarrow{A}\) au vecteur \(\overrightarrow{B}\) comme nous le montre la Fig.1.


Addition vectorielle en math
Fig.1: Soustraction vectorielle en mathématique.

Dès lors, quand le Physicien s’amène avec la définition suivante: Le vecteur variation de position (ou déplacement) se définit par: \(\Delta\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_{2}} – \overrightarrow{r_{1}} \). Eh bien, il suffit de se dire que, pour le Physicien, \(\overrightarrow{r_{1}}\) joue le rôle de \(\overrightarrow{A}\); \(\overrightarrow{r_{2}}\) joue le rôle de \(\overrightarrow{B}\) et \(\Delta\overrightarrow{r}\) joue le rôle de \(\overrightarrow{C}\). Ce n’est pas plus compliqué!


relations vectorielles
Fig.2: Transposition mathématique-physique.

Et quand ce même Physicien, s’amènera la semaine suivante avec la définition du vecteur variation de vitesse: \(\Delta\overrightarrow{v_{2}}=\overrightarrow{v_{3}} – \overrightarrow{v_{1}} \), ce sera un jeu d’enfant!


vecteur variation de vitesse
Fig.3: Vecteur variation de vitesse.

Division d’un vecteur par un scalaire positif

Présentez à n’importe qui un vecteur horizontal de 6 cm de long et nommez-le \(\overrightarrow{A}\). Demandez-lui ensuite de tracer le vecteur \(\overrightarrow{B}\), défini par: \(\overrightarrow{B} \ = \ \frac{\overrightarrow{A}}{2}\). A tous les coups, cette personne sera capable de tracer un vecteur horizontal de 3 cm de long… easy game!

Que répondez-vous alors au Physicien (encore lui), qui vous demande de construire le vecteur \(\overrightarrow{v_{2}}\), défini par: \( \overrightarrow{v_{2}}\ = \ \frac{\Delta\overrightarrow{r_{2}}}{\Delta t}\); en précisant que \( \Delta\overrightarrow{r_{2}} \) est le déplacement effectué par un mobile entre les positions \(M_{1} \) et \(M_{3} \).
Réfléchissez 30 secondes, \( \Delta t\) est donc défini par \( \Delta t = {t_{3}} \ – \ {t_{1}}\). Etant donné que le temps s’écoule inlassablement, \( {t_{3}}\) sera toujours plus grand que \( {t_{1}}\). Dès lors, \( \Delta t\) n’est rien d’autre qu’un scalaire positif! Au même titre que le facteur 2 du Mathématicien 3 lignes plus haut!

Prenons un exemple concret. Imaginez que, sur la Fig.4, le vecteur déplacement \(\Delta\overrightarrow{r_{2}} \) soit un vecteur long de 3 cm et que, ce déplacement se soit effectué entre les instants \( {t_{1}} = 2,0s \) et \( {t_{3}} = 2,1s \). L’intervalle de temps durant lequel le déplacement s’est effectué vaut donc \( \Delta t = 2,1 \ – \ 2,0 \ =\ 0,1s\).

La norme du vecteur \( \overrightarrow{v_{2}}\), vaut donc: \( \lVert\overrightarrow{v_{2}}\lVert \ =\ \frac{\lVert\ \Delta \overrightarrow{r_{2}}\lVert}{ \Delta t} \ = \ \frac{3}{0,1} \ =\ 30 \ cm/s \)

Super, c’est un bon début! Mais, euh, comment on le dessine ce vecteur? Allons revoir chez le Mathématicien: en divisant le vecteur \(\overrightarrow{A}\) par un scalaire positif 2, il obtient un autre vecteur \(\overrightarrow{B}\) dont seule la norme change, la direction et le sens sont conservés .

Construction du vecteur vitesse

Transposons donc entre les deux mondes! En divisant le vecteur \(\Delta\overrightarrow{r_{2}}\) par le scalaire positif \( \Delta t \), on obtient un autre vecteur (\( \overrightarrow{v_{2}}\)) dont seule la norme change, la direction et le sens sont conservés . Ce qui nous conduit à construire la Fig.4! Le seul détail à ajouter, c’est l’échelle utilisée pour construire le dessin. Si j’ai choisi que, pour l’espace, 1cm papier équivaut à 1cm en réalité, alors, le vecteur \(\Delta\overrightarrow{r_{2}}\) mesure 3cm sur la feuille. Il me reste maintenant à définir l’échelle de la vitesse pour laquelle je décide (par exemple) que 1cm papier équivaut à 15cm/s en réalité, dès lors, le vecteur \(\overrightarrow{v_{2}}\) mesure seulement 2cm sur la feuille.


tracer vecteur vitesseFig.4: Comment tracer le vecteur vitesse?

Physiquement, on comprendra encore que c’est de part et d’autre du point \(M_{2} \) qu’a lieu le déplacement \(\Delta\overrightarrow{r_{2}}\), et donc, la vitesse \(\overrightarrow{v_{2}}\) est celle que possède le mobile au point \(M_{2} \). Il nous reste donc à translater le vecteur \(\overrightarrow{v_{2}}\) pour que son origine soit située sur le point qu’il caractérise, càd sur \(M_{2} \).
Voilà, avec ces quelques notions de base, tu es prêt à te lancer à l’assaut de la cinématique! Bon travail!

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